健二さんの楽しい数学(41)

 

( 今月の問題 ) 

 1月は例年通り, 今年の年の数を使った問題です。

 

A.    2018円分の硬貨を 30 の山に分けてください。但し, 全ての山の硬貨の枚数は同数とします。( 201830で割りきれませんから当然ですが, 金額は同じになる必要はありません。)

硬貨( 500,100,50,10,5,1) 全ての種類を使う必要はありません。

 

 

B.   上り口から頂上まで 2018m の標高差がある山を登ることにします。

  最初の1回のみ 100m以下の好きな高さの場所に休憩出来ます。次に休憩出来るのは, 休憩している場所の登り口からの高さの桁の和の3乗数だけ高い場所とします。例えば, 30mで休憩すると, 次回は 57mの場所となります。 なお, 休憩出来る回数は最大10回とします。(1)

 最後に休憩した場所の高さと同じ数だけ ミカンが貰えるとすると最も多くもらうためには, 最初 何m の高さで休憩すべきでしょうか。

1  頂上の2018mを超えたら 10回に達していなくとも終了とします。この場合, 最後に休憩した場所の高さのミカンが貰えます。

 桁の和は例えば 128の場合は2といった具合に, 1桁になるまで 計算します。 

 

 

 

 

 

( 先月の問題 )

A.    100 人が円形に置かれた100の椅子に座っており椅子には時計回りに1番から100番の番号が付いています。 

 1番の椅子から順に100番まで, 椅子の番号の2乗の数だけ時計回りに移動すると最終的に 1番の椅子に座っている人の両隣りは 何番と何番  になるでしょうか。 

※1番の椅子の人は,  2番の椅子と3番の椅子の間に椅子と共に移動するものとします。 次に,  2番の人は5番と6番の椅子の間に椅子と共に移動します。 以下, 同様です。

 

 

 

 

B.

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 上図の縦線, 横線を道路とします。線の無い部分には道路はありません。上図の四隅以外の縦線, 横線の交点は交差点で  信号機が設置されているものとします。

 信号機の青,黄, 赤 は全ての縦方向, 全ての横方向別に同じ時刻で切り替わるものとします。 その間隔は次の通りとします。

 

信号機の点灯間隔  縦 青 50秒 黄 3秒 赤 27秒 

           横 青 24秒 黄 3秒 赤 53秒 

 

 ここで左上の隅からa,   右下隅からb 縦方向の信号が青に切り替わると同時に 隅の位置から縦又は横方向のどちらかに出発します。上図で, 小さい正方形の区画の一辺を通過するのに, a,b 1分 を要するものとします。

 では,  abが 途中で出会うとする場合最短の時間を求めてください。

交差点を通過する時間は0とします。a, b は信号機が黄色又は赤の時には止まって青になるのを待ちます。 信号が切り替わるタイミングで交差点に入る時は, 切り替わった後の色に従うことにします。

 

 

 

 

( 解答 )

A. この問題の注意点は, 椅子を持って回ることです。1番から100番まで円状に並んでいる時,  10番の人が 102乗の100だけ 時計回りに回ろうとすると,  1周しても99 ですから,  11番と12番の間に 入ることになります。

同様に20番ですと 400ですから,  24番と25番の間に入ることになります。

 この点に注意して計算(作業)すると,  答は 2番と95番となります。

 答は 簡単なプログラムで直ぐに求めることも出来ますが大変でも手作業で コツコツ計算すると, 途中でいくつか面白いことに気がつきます。( エクセル等の表計算ソフトをうまく使えばそう大変でもないようです。)

 

 先ず,  1から100までのnについて,  の下2(  mod 100 ) の分布をみてみましょう。

 1 から 100までの2乗数の下2桁の数が,  0,  110,  1120,  21 30,・・・,  91 100 のどこに入るのかを調べると その分布は

0 10,  110 12,  1120 4,  2130 22,  3140 4,   4150 12,  5160 4, 6170 12,  7180 4, 8190 12,  91100 4

 となります。   一の位が5の数は 10個あり, 下2桁は25ですから, この分を引くと 2乗数の下2桁が2130 の範囲に入る数は 12個となります。

 何故このような分布になるのでしょうか。

   の下2  を考えると -  や  -  , ・・・,  -   は 100の倍数になりますから,  a + b = 50  ならば   と   100を法として合同になります。 従って,  1から49 までの2乗数の下2桁は 25を中心として上下が対称,  51 から99 までは 75を中心として上下対称となり,  1から25 までを 計算すれば,  1から 99までの2乗数の下2桁の値は分かることになります。

 例えば  72乗数の下2桁は 43,57,93  2乗数の下2桁と同じ値です。

 

 では 99で割った余り (  mod  99 ) の場合は どうでしょうか。

90番台を見ると 902乗数を99で割った余りは81,  91 は 64,  92は 49,・・・  98となり,  99では 0 となっています。

 これは例えば 95 ですと,  -  = 99 × 91 ≡ 0  mod  99

のように,   a + b = 99  ならば   と   99を法として合同になるということで,   1 と 98 ,  297,  396,・・・,  4950 2乗数を99で割った余りは 等しくなります。 従って,   1から49 までを計算すれば,  50から 98の値は分かることになります。

 

 次に,   1221 のように 十の位と一の位の数が入れ替わっている場合2乗して99で割った余りの数  は 等しくなります。例えば, 12212乗数を 99で割った余りは 共に45 となります。

 これは, 

 ( 10a + b ) × (10a+b ) = 100  +20( a +b) + = 99  +20( a +b) +

( 10b + a ) × (10b+a ) = 100  +20( a +b) + = 99  +20( a +b) +

 となり,  桁上りがある場合も含め  99で割った余りは 等しくなります。

 

これらのことより例えば 7 2乗数を99で割った余りは, 70, 92,29

2乗数を99で割った余りと同じ値になることが分かります。

 また, 18 ,81 のように 十と一の位の数が逆で足すと99になるようなケースもあります。

 

 この後にも,   いくつか面白いことがありそうですので,  近いうちに続きを掲載したいと思います。

 

 

 

 

B.      図1

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

  先ず横線は上から1,2,3,・・・,13     縦線は左から 1,2,3,・・・,13 と番号をつけ, 交点を(1,1),(1,2),(2,3) のように ((横線の番号),(縦線の番号)) で表すものとします。(初めのaの位置は(1,1),  b(13,13))

 

 交差点の信号機の縦・横別の色は次の表のとおりです。

         表1

縦が青()

横が青()

0

50

53

77

80

130

133

157

160

210

213

237

240

290

293

317

320

370

373

397

400

450

453

477

480

530

533

557

560

610

613

637

640

690

693

717

720

770

773

797

800

850

853

877

 

 

  表1より横の信号機が青となると同時に信号機を通過すると, その後 縦, , , , , , , , ・・・ と進めば 信号機待ちがなくなります。

 他にもいくつかのパターンが考えられますが1の例では  このパターンが生かせるような経路 が最も有効です。

 このような考えで経路を考えると,

a の場合

 ( 1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,4) (3,4) (3,5) (3,6) (4,6) (5,6) (5,7) (5,8) (6,8)

b の場合

(13,13) (13,12) (13,11)(12,11)(11,11)(11,10)(11,9)(10,9)(9,9)(8,9)(8,8)(7,8)(6,8)

 

 と移動することにより, 最も早く出会えると考えられます。

a が (6,8) に達するのは 753秒後,  bが (6,8) に達するのは 740秒後ですから, (6,8) に早く到着する b ,  (6,8) から (5,8)へ 向かうことにより, a,b 出会うのは スタートしてから746.5 秒後となります。