前回で分数b/aを定義することは、方程式a ・ x　=bの解　 x=b/a　として分数が定まると逆思考で考えた。　ところが、a=0　の時、bがゼロでなければ方程式が解けないから、bがゼロでなければ分数b/0が定義できない。そこで、方程式　a ・ x　=bに近いもので、何時でも唯一つの解を有するようには考えられないだろうか。

 

ここで、もう１段の発想の転換が　必要である。方程式　a ・ x　=bの解とは、(a ・ x　–b)^2  を最小にするxの値であると言い換えられる。（ここで、２乗する意味は結構深く、差の２乗を考えるのは　２つの量の遠さ、近さを比較するのに便利である事による　―　ここにも神は２を愛し給う、志が出ていると言える。これに関して、ピタゴラスの定理を思い出すのは良いだろう。）

 

そこで、(a ・ x　–b)^2　に近い式として、小さな正の数sをとって、　式　 sx^2 +（a ・ x　－b）^2を考える。（s が10^{-400} 位に小さくとれば、加えた項は、無視できるほどではないだろうか？　実際、現代では　それくらい小さな数を計算機内でも扱える。実際、京都大学の藤原宏志氏は、それよりはるかに小さな数を計算機内で扱っている。）この時、これは２次関数であるから、放物線の谷の頂点、すなわち、x= ab/(s + a^2)  で最小値をとることが分る。s=0　のとき、(a ・ x　–b)^2　を最小にする x が分数　b/aであるから、(a ・ x　–b)^2　に近い　式sx^2 +（a ・ x　－b）^2を最小にするx= ab/(s+ a^2)　は　定義したい一般化した分数と言えるだろう。ところが、今の場合、a=0の場合にも　最小にする x は　唯一つに　x = 0　と定まっている。s x^2　の項のために何時でも最小にするx　が唯一つに定まる。

 

ここが微妙なところであるが、x= ab/(s+ a^2)　で　sに依存する一般化分数を定義し、sをゼロに近づけた極限値で、（sには依らない）一般化分数を定義するのが自然であると考えられよう。この意味で、定義された分数を従来どうり、b/a　で表せば、a　がゼロでない場合、定義は、従来どうりであるが、a=0の場合にも定義されて、b/0=0 であるという結論に達する。形式不変の原理、すなわち、拡張を考えるときは、　従来の結果はそのまま成り立つように拡張して行かなければならない。―　でたらめな拡張であってはならない。

 

ここで重要なことは、ゼロ除算b/0　のこの定義は、もはや　もともとの意味での割り算としての意味を失い、割り算の自然な拡張として得られた　と言うことである。その意味で、極めて微妙なものである。（この意味でゼロ除算b/0=0　は記号b/0を用いるべきでないという意見が出るが、世にb/0の正当な意味を与えたものは無いと考えられるので、新しい記号は不要であると論文で述べた。しかしながら、複素解析学ではb/0に無限遠点を対応させている。そこで、無限遠点は数ではないのでないかと、その矛盾を世に問うている。）

 

今回は、極めて、微妙でいろいろ示唆に富んだ発想で、しかも微妙なゼロ除算b/0=0を得た。分数b/aをa=0の場合にも自然に拡張するとb/0=0であることが、証明された。さらに、非常に一般的に　どのような拡張を考えても　この結果に限られることが、山形大学名誉教授　高橋眞映氏によって証明された。　ここまでの結果が、高校レベルの数学で、完全な証明と簡単な表現が与えられているが、　原論文を参照：

M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,

New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,　Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.

上記で　補正項、正則化と　呼ばれる　sx^2　を加えて考える方法は、ロシアの偉大な数学者チコノフの正則化法と呼ばれ、神秘的な力を有する。そこで、チコノフ正則化法の神秘力によって、ゼロ除算b/0=0を数の実体として認識したと述べた（再生核研究所声明１５４（2014.4.22）　新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方）。

 

次回には、この結果の驚くべき事実などについて触れたい。

 

  (以下、次号)