（tan 90度はゼロ）

tan 90度、あるいは　2分のパイが　ゼロであることは、解析幾何学や微積分などに広範な影響を与える。　極座標　x = cos theta, y = sin theta　を考えると　tan theta = y/xであるから、ｘ＝０の場合を考えたくなるのが道理である。ゼロ除算は何時でもy/0はゼロであり、そのときは曖昧な　プラス無限大でも、マイナス無限大でもなく　ゼロであることを述べていて、すっかり美しくなる。3次元で極座表を考えると、より明瞭に分かるだろう。

 

2直線

a x + b y + c = 0,

A x + B y + C= 0.

 

を考える。それらの勾配はk = -　a/b, K = - A/B　であるが、b = 0 のとき、ゼロ除算で　k, K = 0で　この結果は良く合っていることが分かる（ゼロ除算では　y軸の勾配はゼロである）。　さらに、2直線の直交条件  k K= - 1　は,

 

ｔan　（pi/2） =0 = +,- (k - K)/(1+ k K),

 

で、良く合っていることが分かる。

 

次に、２次曲線

 

a x^2 +2 h x y + b y^2 +2g x + 2f y + c =0

 

を考えて、座標回転

 

x = X cos theta - Y sin theta,

y = X sin theta + Y costheta.

 

で、xy　の項を消そう。 x,yを代入して、

 

A X^2 +2 H X Y+ B Y^2 +2G X + 2F Y + C =0.

 

と纏めるとH = 0　である条件は

 

tan （2theta） = 2h/(a – b)

 

であるから,　例え、a = b　の場合でも、ゼロ除算で

 

tan （pi/2） = 0, theta = pi/4

 

となって良く合っている。

 

2直線　y=（tan theta ）x とx = 1　のｙ座標  tan theta　を考える。theta　がゼロから、正の　pi/2 に近づけば、どんどん増大して限りなく大きくなるが、pi/2の時、突然、

 

ｔan　（pi/2）=0

 

である。　平行線になって、　直線x = 1とｙ軸は交わらないからである。　ゼロ除算はこのように、破壊現象を数学的に厳密に表現していることを広範に知るだろう。

(x,y)　平面上の単位円を考える。　単位円と直線 y=　（tan theta) x の交点における接線（ theta .はゼロとpi/2　で考える）のx 軸の交点座標を　(R(theta)、0) で表す。その点と接点までの距離L(theta)は、

 

L（theta） = tan theta.

 

で与えられる。

 

L（0） =tan 0 =0,

で、ゼロ除算で

 

ｔan　pi/2 =0.

 

(R(theta),0)　における半径L（theta）の円C(theta)は　単位円に直交する。ｔheta　＝0の時円C(theta) は点（１，0）になり、その曲率はゼロである。　C(pi/2)は奇妙な状態になる。　先ず、R(theta)　の２乗が　1 + L（theta）^2  だから、R(pi/2) = 1 で、半径、曲率ともにゼロ除算でゼロになっている。これらは、theta　＝pi/2　における強力な不連続性を示している。

 

       ( 以下、次号 )