(微分係数からゼロ除算を考える)

y軸の勾配がゼロであることは、大きな意味を有する。　ゼロ除算の実在感を実感できるのではないだろうか。

関数　y =  に対して、

 y′ =

 

ゼロ除算で、

[ y′ ]x=1= 0, [ y′ ]x=−1= 0

 

であるが、これは　　x=cosθ, y=sinθ　に対し

 

　　 = 　= - cotθ

 

となることからも理解できる。

y = tan x　に対して

y′ =　 から

[ y′ ]x=π/2 = 0.

 

これらは、それらの点で接戦がy軸に平行であるから、幾何学的にも良く理解できる。

関数　y = log x　に対して　y′　=  　だから

[ y′ ]x=0 = 0

 

で、ゼロ除算1/0は当たり前のように理解できる。

微積分学で微分係数がプラス無限やマイナス無限が　実はゼロであるというゼロ除算は、微積分における多くの例外的な条件を外して、一般的に成り立つことが分かる。

簡単な例を上げると、公式

 =

()′ = − 

 

など、分母がゼロにならない条件を付けて考えてきたが、分母がゼロであっても　例外なしに成り立つという　美しい公式になる。

 

次のように面白い現象が顕になる：

ニュートン法は方程式f(x) =0の解を計算機で求める基本的な方法であるが、それは

 =  －　,  n = 0,1,2,・・・

で定義される数列｛｝を考えて、数列の極限値で方程式の解を求める方法である。

 

幾何学的には　接線のx 座標で解を近似して行く方法である。　ここで、もちろん、f(）=0ならば、この操作は既に求める解であるから、上記の操作は中止される。この手順で、従来では、

f′ (xn) = 0

を入れると　計算機障害が起きる場合（計算機が計算できない状態）であるが、ゼロ除算は上記の操作が　解と同様に上記の手順で改善できないことを示していて、誠に美しい結果になっている。接戦がx　軸と交わらず、平行になっている場合を表している。

微分係数がゼロである場合のこのような知見は　解析学に大きな影響を与えると考えられる。

 

　　　 ( 以下、次号 )