堪らなく楽しい数学



― 任意の数や解析関数は ゼロで割ることが できる。

11月1日、サイトの確認を行うべき、サイトを拝見して、解説記事が載っていないことに気づき衝撃を受けた。 11月分まで記事を送っているものと考えていました。 特に10月は、京大数理解析研究所での講演、岡山大学における日本数学会での講演4件、 成田における国際会議での招待講演、さらに卒業後56年を経た高校の同級会が有ったり、研究計画の提出と日程が込んでいて、うっかりしていたことに気づいた。 サイトの管理者にもご迷惑をおかけしました。 忙しさに気づかれて そっとしておいて頂いたものと感謝しています。

そこで、ある空白期間いろいろ溜まっていた義務的な仕事を片付けながら、ゼロ除算についても総合的に検討していましたら、新たな気持ちで、肝心のゼロで割る問題 本質が明確に表現されていないことに気づきました。そこで副題のように 命題を宣言するような気持ちで、自己完結的に解説したい。

 

先ずゼロで割れるか、割れないか、できるか、できないか、そのような事は、どのような意味で そうなのかを明確にする必要がある。 前提、仮定で結論はいろいろあるので、しっかり その意味をとらえる必要がある。 ゼロ除算が 1300年以上も未解決であったその理由は、典型的なゼロ除算1/0  の意味を曖昧にして、議論してきたためと言える。 希望的に それを未知の数と考えた方が 相当いて、未だに混乱をしている。 ゼロ除算の本質は、実は その定義にあったと言える。  考え方で ゼロで割ることができます。 ゼロ除算、ゼロで割る問題、分からない、正しいのかなど、 良く理解できない人が 未だに 多いようです。

そこで、簡潔な一般的な 解説をまず行います。 分数a/b は a  割るb のことで、これは 方程式b x=a の解のことです。これが常識的な数学界の定説です。

ところが、 b がゼロならば、 どんな xでも 0 x =0 ですから、a がゼロでなければ、解は存在せず、 従って 100/0 など、ゼロ除算は考えられない、できないとなってしまいます。 普通の意味では ゼロ除算は 不可能であるという、世界の常識、定説です。

できない、不可能であると言われれば、いろいろ考えたくなるのが、人間らしい創造の精神です。 基本方程式 b x = a において b がゼロならば解けない、解が存在しないので、困るのですが、このようなとき、従来の結果が成り立つように、従来の知られていた結果がそのまま成り立つようにして、解の考えを拡張して、解が考えられないか(形式不変の原理)と、数学者はよく考えて来ました。 ― 例えば、2次方程式は実数の世界では解が存在しない場合がありますので(例えば 方程式 x^2=-1) 数を複素数まで拡張して、何時でも解が存在するようにした。 関数が微分できない場合があると解析学では 不便なので、 超関数の理論を考えて、何時でも微分ができるように考えた などなどです。)― そこで、このような意味で、数学は不可能を可能にしてきた歴史とも言えて、 ゼロ除算は不可能であることの典型的な場合であるが、ゼロ除算はやがて可能になるだろうと言っていた人がいた。-  何と、 そのような基本方程式は 何時でも唯一つに 一般化された意味で 解をもつと考える 方法があります。 Moore-Penrose 一般化逆の考え方です。 どんな行列でも 逆行列を唯一つに定める 一般的な 素晴らしい、自然な考えです。

その考えだと、 b がゼロの時、解はゼロが出るので、 a/0=0 と定義するのは 当然です。 すなわち、この意味で 方程式の解を考えて 分数を考えれば、 割り算を考えれば、ゼロ除算は 可能で、ゼロとして定まる ということです。

ただ一つに定まるのですから、 この考えは 自然で、その意味を知りたいと 考えるのは、当然ではないでしょうか。

さらに、このように考えると、初等数学全般に影響を与える ユークリッド以来の新世界が 現れてきます。

他の考え方も幾つか述べて来ました。代数的にゼロ除算を含む体の構造(山田体)を考える、高橋の一意性定理から拡張分数を定義するなど いろいろな考え方があります。しかしながら、これらの導入、定義では割り算を拡張したという その存在と定義は しっかりしていますが、割り算の意味、導入された分数の意味がまだ 幻のようになっていて、 割った意味がどうなっているか 分からないと言えます。のような意味で ゼロで 割れるのか その意味をさらに明確にしたい。 ここでは、その考えから、新しい考え方を述べたい。

先ず、ゼロ除算算法を導入します。ゼロ除算算法とは

 For a Laurent expansion around $x=a$,

\begin{equation}

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{-1} C_n (x - a)^n + C_0 + \sum_{n=1}^{\infty} C_n (x - a)^n

\end{equation}

we consider as follows:

\begin{equation}

f(a) = C_0.

\end{equation} 

For the correspondence for the function $f(x)$, we will call it the division by zero calculus. By considering derivatives, we can define any order derivatives of the function $f$ at the singular point $a$ as follows:

$$

f^{(n)}(a) = n! C_n.

$$

ゼロ除算算法とは 要するに孤立特異点をもつ解析関数に ローラン展開の係数C_0を対応させることです。 ゼロ除算算法は 本質的には定義であり、仮説であり、その重要性のゆえに公理のようなものである。 ― ここであるが、ゼロ除算については未だに 不信感を拭えない状況にあると考え、

再生核研究所声明 420(2018.3.2): ゼロ除算は正しいですか,合っていますか、信用できますか。 - 

回答を纏めたが、相当な数学者が誤解していることが分かった。そもそも数学とは仮定、公理系を基礎に組み立てられる関係からなる理論体系全体が一つの数学であり、数学的な真偽は論理的な展開の完全性にあって、 数学を越えた真智とは異なり、数学界外における価値はその理論体系の影響、貢献による。数学者は己の好みで自由に論理体系を進めて数学を展開していく自由を有するが、それらの価値を外に向かって示すには、どのような貢献ができるかを絶えず具体的に示して行く必要がある。そのような努力を怠れば, 私はそのような数学には興味も関心も無いとして、無視されていくことになりかねない。その様な観点から、ゼロ除算の意義をいろいろ触れてきた。ゼロ除算算法の仮定からどのようなことが導かれ、どのような影響を与えるかをいろいろ触れてきている。ゼロ除算の仮定の意義の大きさは、その影響によるのであって、その真偽自身を数学では本質的に問わない(問えない)ということである。 - この文は要するに役立てば良いとの発想に繋がる。 - 上記で、結果を吟味しながら応用して行くという態度をとれば、人は結果について安心できるのではないだろうか。

上記ゼロ除算算法が初等数学全般に影響を与えるばかりか、 アリストテレス、ユークリッド以来の空間の、世界観の変更を要求していることを 800件を超える例で示していて、現代初等数学の変更が求められている。 ゼロ除算算法は新しい公理と言える。

先ず、基本的な関数W= F(z) = 1/zでは、ゼロ除算算法で次を得る:

$$

F(0) = 0.

$$

(ゼロ除算算法の定義を ローラン展開や 英文で表現したが、その本質は、実は、この結果だけの仮定で十分である。すなわち、関数関数F(z) = 1/zの 原点での値をゼロとする。 そう定義する、仮定する。)

関数W= F(z) = 1/zの形から、

$$

1/0 =0.

$$

ここで、 この等式は関数の形とゼロ除算算法から導かれたもので、1/0 は普通の意味、方程式0 x=1 の解として得られたものではない。 普通の意味なら直ちに矛盾になってしまう。 基本関数の原点での値が定義されたものである。それを表している。

これが、を 0 で割ったものの値がゼロであるとの、ここでの意味であり、定義である。 神秘的に永い歴史を有するゼロ除算についての 一つの解答、解釈であるが、我々の解答は 具体的な効用を広く示し、このような解釈をきちんと与えたことにある。

世に、ゼロで 割れるかの問題に対して、我々は、ここでは 次のように解答を与えたい (理論体系でいろいろな考え方、捉え方が存在する):

 

原点 z=0 の近傍で、特異点を許す解析関数f(z) (もちろん、任意定数関数を含む)に対して、次の原点における値を ゼロ除算算法で定めることができる: 任意の正の整数nに対して、

$$

f(z)/z^n.

$$

 

例えば、

$$

e^x/ x^n(0) = 1/n!.

$$

確かに、関数 f(z)/z^n において z=0 での値が定義されるというのですから、f(0) 0^n で割っていると解釈できる。ちなみに、z=0 以外では、普通の意味で 関数f(z) を z^n で割っている。

この意味で、任意の解析関数や数は ゼロで割ることが できる

意外にゼロ除算の理解は難しいことが 寄せられている質問などから分かる。 全く新奇な世界であること、普通の発想ではないところが 難しいのでは ないだろうか。 上記の部分、結構微妙なものがあるので しっかり考えて欲しい。 どのような意味で ゼロで割れると言っているのか。ここでの 1/0=0 の意味とは 何だろうか?

                                                    ( 以下、次号 )